Si supponga di voler calcolare un
integrale del tipo:
(dove N(x) e D(x) sono polinomi nell’indeterminata x di grado assegnato).
Supponiamo che:
N(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
D(x) = bkxk + bk-1xk-1 + … + b1x + b0
I coefficienti ai e b i appartengano al campo reale e an e bk siano diversi da zero in modo da non abbassare il grado dei polinomi.
Si possono presentare tre casi: n > k, n = k, n < k cioè grado di N(x) > = < grado di D(x)
Per poter calcolare l'integrale si esegue la divisione tra i polinomi N(x) e D(x) .
Ricordando che: N(x) = D(x)×Q(x)
+ R(x), dividendo ambo i membri per D(x) si ha:
dove Q(x) e R(x) sono il quoziente e il
resto della divisione. Pertanto si ha:
Esempio
Sia
Si noti che
gr(N(x)) = 3 (grado del polinomio al numeratore) gr(D(x)) = 2 (grado del polinomio a denominatore).
Si può eseguire la divisione:
|
x3 + 3x2 |
x2 + 1 |
|
|
-x3 -x |
x+3 ï |
quoziente |
|
0 + 3x2 -x |
|
|
|
- 3x2 -3 |
|
|
|
-x -3 |
ï |
resto |
e risulta:
e quindi :
In questo caso non si segue una regola ben definita: le operazioni da eseguire dipendono dai polinomi in gioco; è comunque possibile eseguire ancora la divisione tra polinomi.
Esempio:
Va ricordato che il Teorema Fondamentale dell’Algebra afferma che un polinomio di grado n ammette esattamente n radici nel campo complesso; tale proprietà verrà sfruttata per decomporre il polinomio D(x) in fattori primi irriducibili.
Le radici di D(x) possono essere reali o complesse coniugate (a due a due), con molteplicità maggiore o uguale a uno.
Supponiamo che il polinomio D(x) ammetta la seguente decomposizione:
dove a1, ..., ak sono radici reali e i polinomi x2 +ph x + qh corrispondono alle coppie di radici complesse coniugate.
Gli “ordini di molteplicità” sono: m1, m2,…, mk per le radici reali, 2r1, 2r2,…, 2rj per le radici complesse coniugate
e devono soddisfare alla seguente relazione:
m1 + m2 +…+ mk + 2r1 +2r2 +…+ 2rj = n (grado di D(x)).
Per semplicità considereremo in modo differente i casi relativi a radici reali distinte, a radici complesse coniugate e i casi con radici reali o complesse coniugate con molteplicità maggiore di uno.
Si cercano le radici di D(x). Il denominatore della frazione si può decomporre nel seguente modo:
Le radici: a1, ..., ak sono per ipotesi reali e distinte di molteplicità uno.
Si cerca di scrivere la funzione integranda nel seguente modo:
ove A1, A2,…, Ak sono costanti reali da determinare in base ai polinomi assegnati.
Per determinare il valore delle costanti A1, A2,…, Ak ci si avvale di due metodi distinti e fra di loro equivalenti:
I Metodo: Passaggio al limite.
Moltiplicando di volta in volta ambo i membri per x - ah (h = 1, 2, …, k), si ottiene:
Ripetendo questa operazione per tutte le radici si ottengono k limiti da calcolare separatamente:
Tale relazione deve valere per ogni scelta di h = 1, 2, …, k. Si osservi che di volta in volta al denominatore manca il termine x - ah.
Dal calcolo dei limiti così ottenuti, si ricava il valore delle costanti
A1, A2,…, Ak.
Esempio 1
Calcolare il seguente integrale:
Si cercano le radici del polinomio a denominatore
D(x) = x2 - 5x + 6 = 0 ð x1 = 3 e x2 = 2 ð x2 - 5x + 6 =(x - 2)(x - 3)
Quindi si identifica la funzione integranda con la seguente:
Moltiplicando ambo i membri per (x - 3) si ottiene:
ð
Eseguendo il passaggio al limite, si ricava:
ossia: A = 6.
Moltiplicando ora per (x - 2) ambo i membri si ricava:
ð
Eseguendo il passaggio al limite, si ottiene:
ossia: B = – 5.
Si può ora procedere al calcolo dell’integrale:
Si ottengono così due integrali che ammettono come primitive delle funzioni di tipo logaritmico.
II Metodo: Mediante il principio di identità dei polinomi.
Questo metodo permette di calcolare tutte le costanti A1, A2,…, Ak in blocco, senza ricorrere al calcolo di k limiti separatamente, ma mediante la risoluzione di un sistema lineare di k equazioni in k incognite.
Supponiamo che la funzione integranda si possa scrivere nel seguente modo:
Si esegue la somma dei termini a secondo membro e si ricava:
È possibile eliminare i denominatori in quanto uguali. Si ottiene:
Per il principio di identità dei polinomi, si ottiene un sistema di k equazioni nelle k incognite A1, A2,…, Ak.
Esempio 2: Metodo alternativo per calcolare il valore dell’integrale presentato nell’esempio 1.
Si cercano le radici di D(x): (già calcolate nell’esempio 1)
x1 = 3 e x2 = 2 ð x2 - 5x + 6 =(x - 2)(x - 3)
Quindi si cerca di soddisfare alla relazione:
Svolgendo la somma al secondo membro, e eliminando i denominatori si ottiene:
x + 3 = A(x - 2) + B(x - 3)
da cui, applicando il principio di identità dei polinomi, si costruisce il seguente sistema lineare di due equazioni nelle due incognite A e B:
ð
ð
ð
Come era da aspettarsi, si ottengono gli stessi valori per le costanti A e B.
Una volta calcolati A e B, si può procedere al calcolo dell’integrale come nell’esempio 1.
Come nel caso precedente si decompone il denominatore D(x) in fattori primi irriducibili, andando a cercare le radici del polinomio.
Il denominatore della frazione si può decomporre nel seguente modo:
Il polinomio D(x) ammette, in tal caso, j radici complesse e j radici complesse coniugate del tipo:
; … ; 
La funzione integranda diventa si può scrivere nella forma:
ove le Ah e Bh sono costanti reali da determinare utilizzando il principio di identità dei polinomi.
Si osservi che a numeratore appaiono polinomi di I grado e non più delle costanti come nel caso precedente.
Esempio 3:
Calcolare il valore del seguente
integrale: 
Le radici del polinomio a denominatore sono:
x1 = 0; x2,3 = ±i;
Cerchiamo di scrivere il rapporto nella forma:
Utilizzando il principio di identità dei polinomi, si ottiene:
x2 + 3x + 2 = A(x2 + 1) + x(Bx + C)
da cui:
x2 + 3x + 2 = Ax2 + A + Bx2 + Cx = (A + B) x2 + Cx + A
ð
e quindi la funzione integranda si scrive:
Tornando all’integrale di partenza si ottiene:
Si ottengono così tre integrali facilmente calcolabili.
Si decompone ancora in fattori primi il polinomio D(x) al denominatore. Si cercano le radici del polinomio:
dove
2r1, 2r2,…, 2rj, m1, m2,…, mk
rappresentano gli “ordini di molteplicità” delle radici trovate (reali o complesse coniugate).
La funzione integranda si può riscrivere nel seguente modo:
dove le varie costanti reali
Ah,
Bt, Cs
vanno determinate mediante il
principio di
identità dei polinomi.
Esempio 4:
Calcolare
Le radici del polinomio al denominatore sono 3: x =0 ; e x =1 con molteplicità 2
Cerchiamo una forma equivalente della funzione integranda:
Le potenze del denominatore (x-1) si ripetono fino a raggiungere l'ordine di molteplicità. Quindi:
1 = (A + B)
x2+ (-2A-B
+ C) x + A
ð
ð
quindi l’integrale si può riscrivere nel seguente modo
Esempio 5:
Calcolare
È gr(N(x)) > gr(D(x))
Per decomporre tale frazione bisogna determinare le radici del polinomio al denominatore
ð x(4x4 + 4x2
+ 1) = 0 ð
x(2x2 + 1)2 = 0
Le radici sono :
x =
0 ; e
con ordine di molteplicità 2 ð
si
hanno 4 radici complesse e 1 radice reale. Per il teorema di decomposizione dei
polinomi la funzione integranda si può scrivere nel modo seguente:
ò
x2 + 2 = A(2x2 + 1)2 + (Bx + C)x(2x2 + 1) + (Dx + E)x
ò
x2 + 2 = (4A + 2B)x4+ 2Cx3 + (4A +B +D)x2+ (C + E)x + A
da cui si ricava il sistema lineare nelle incognite A, B, C, D, E:
ð
Quindi la frazione si può scrivere come somma di frazioni, nel modo seguente:
Esercizio.
Calcolare 
N.B. La tecnica di decomposizione dei polinomi non è finalizzata all’integrazione, ma può essere usata ogni volta che si ha a che fare con il quoziente di due polinomi che rispettino le ipotesi esposte.
Siano P(x) e Q(x) polinomi reali con coefficienti reali e tali che gr(P(x))< gr(Q(x)).
Se il polinomio Q(x) si può fattorizzare nel seguente modo:
risulta che :
§ 2r1, 2r2,…, 2rj, m1, m2,…, mk sono gli ordini di molteplicità delle radici del polinomio Q(x).
§ m1 + m2 +…+ mk +2(r1 + r2 +…+ rj) = gr(Q(x)).
§ a1 ,a2 ,...,ai sono le radici reali dell’equazione Q(x)=0
§ x2 + p1x + q1, …, x2 + pjx + qj sono polinomi di secondo grado irriducibili nel campo reale, ossia ammettono radici complesse coniugate.
Il rapporto
si può esprimere come somma di frazioni parziali nel seguente
modo:
ove le costanti reali A, B, C si determinano mediante il principio di identità dei polinomi.